题目

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程  bi 。

• 例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。

请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：true
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。

示例 2：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出：false
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成​课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

提示：

• 1 <= numCourses <= 2000
• 0 <= prerequisites.length <= 5000
• prerequisites[i].length == 2
• 0 <= ai, bi < numCourses
• prerequisites[i] 中的所有课程对 互不相同

分析

这道题目一眼看去感觉是检测环的问题，考虑用链表把课程关系连接起来，再从每个节点出发，如果next回到自己节点，就不可能。

可能是一对多，所以不能用链表，而是用图表示，问题就变成了是否是有向无环图。

有向无环图DAG

有向无环图（Directed Acycling Graph，DAG）是没有回路的有向图。

经常用来描述工程和系统的进行过程，比如工程管理中的AOV网，用顶点表示活动，顶点之间的弧表示活动之间的优先制约关系。

拓扑排序

与AOV网密切相关的问题是：如何判断AOV网中是否存在回路？

这里用到的就是拓扑排序，拓扑排序的要求是：

在AOV网没有回路的前提下，如果AOV网中存在弧<i, j>，那么在拓扑排序后的序列中，i 一定排在 j 的前面。具有这种性质的序列称为拓扑有序序列，拓扑排序的目标就是得到拓扑有序序列。

如何进行拓扑排序呢？

1. 找到一个没有前驱的顶点，将顶点纳入序列；
2. 删去该顶点及该顶点出发的弧

重复以上操作直到不存在没有前驱的顶点。

如果该序列中包含所有AOV网中的顶点，则说明该AOV网是有向无环图。否则就出现了回路。

代码实现

图的遍历同样分为广度优先遍历和深度优先遍历两大思想：

广度优先遍历

拓扑排序的BFS实现又称卡恩算法，是卡恩于1962年提出，步骤如下：

class Solution {
    public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        int[] preReqCnts = new int[numCourses];
        // 邻接表保存
        List<List<Integer>> postReqs = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
            postReqs.add(new ArrayList<Integer>());
        }
        // 保存顶点的前驱数量及拓扑关系
        for (int[] prerequisity : prerequisites) {
            postReqs.get(prerequisity[1]).add(prerequisity[0]);
            preReqCnts[prerequisity[0]]++;
        }

        // 预热队列
        Queue<Integer> queue = new ArrayDeque<>();
        for(int i = 0; i < numCourses; i++) {
            if (preReqCnts[i] == 0) {
                queue.offer(i);
            }
        }
        // 层序优先遍历
        while (!queue.isEmpty()){
            int courseIdx = queue.poll();
            for (int post : postReqs.get(courseIdx)) {
                if (--preReqCnts[post] == 0) {
                    queue.add(post);
                }
            }
        }
        for (int preReqCnt : preReqCnts) {
            if (preReqCnt != 0) return false;
        }
        return true;
    }
}

时间复杂度：因为是进行的广度优先搜索，为O(m+n).

深度优先遍历